Ah les maths !... Et si vous preniez un peu de concret !

LE X ÉCARTELÉ ENTRE CONCRET ET ABSTRAIT

Essayons de relier une équation, par nature abstraite, à une situation concrète.

Prenons, par exemple, x + 3 = 5.

Tout d'abord, que veut dire ce x ?

Ne me dites pas que vous n'avez jamais vu de film de pirates, ou jamais lu L'île au trésor de Stevenson.

Car dans ce registre, le X est bien connu ! Sur les cartes, en effet, il désigne l'emplacement du trésor : ce qu'il faut trouver, ce que nous cherchons.

X est parfois aussi nommé l'inconnu (ce que l'on ne connaît pas) : amusant quand on sait que sur les vieilles cartes, les terres inconnues étaient notées "terra incognita" ou en abrégé, "terra X".

X est donc l'inconnu, ce qu'il faut trouver... l'invité mystère en quelque sorte !

Revenons à notre équation, ainsi nommée car elle contient une "équalité", pardon, une égalité :
x plus 3 égale 5.

Quelle situation concrète allons-nous choisir (car nous pourrions en trouver plein !) ?...

Prenons une balance avec des "poids" (je sais, les physiciens diraient des masses, mais bon... cela ne changera rien à notre histoire de x), une balance à plateaux (une balance de Roberval pour les connaisseurs).

Au lieu de la dessiner en entier (mais vous pouvez le faire !), je la représenterai par une flèche et deux traits (un pour chaque plateau).

Quand il y a le même poids sur chacun des deux plateaux, que les poids sont égaux donc, la flèche est bien droite (verticale, oui je dis "droite" comme on dit "tiens-toi droit" alors que nous devrions dire "tiens-toi vertical"...).

La balance compte deux plateaux.

Un plateau correspond au premier membre de l'équation : tout ce qui est à gauche du égal si vous voulez.

L'autre plateau correspond au second membre.

Comment allons-nous représenter le x ?

Par un paquet dont nous cherchons à connaître le poids.

Et le 3 ? Par 3 poids de 1 kg chacun. Et le 5 par 5 poids.

Ainsi nous aurons le dessin suivant :

Essayez maintenant d'évoquer, pardon, de faire exister dans votre tête une VRAIE balance à plateaux avec sur le plateau de gauche un paquet et trois poids de 1 kg, sur l'autre plateau, cinq poids de 1 kg.

Vous recherchez le poids du paquet.

Si vous retirez les trois poids de 1 kg du plateau de gauche, c'est celui de droite qui sera plus lourd et la balance penchera à droite.

Donc, pour que la balance reste équilibrée, il faut retirer à gauche ET à droite trois poids de 1 kg.

Comme vous l'aurez compris, sur le dessin, la flèche et les pointillés qui entourent les 3 poids de 1 kg soulevés représentent l'action d'enlever 3 : ici le – 3 correspond bien à une action.

Il reste donc :

- sur le plateau de gauche, le paquet ;

- sur le plateau de droite, 2 poids de 1 kg.

Nous écririons donc de façon mathématique :

x + 3 = 5

x + 3 - 3 = 5 - 3

x = 2

Remarquez comment l'écriture mathématique fait abstraction de la situation concrète !

L'abstraction représente donc un gain de temps… mais comme tout ce qui va plus vite, il faut l'apprendre à piloter. Faire du vélo, c'est plus rapide que marcher… mais il faut apprendre à en faire. Conduire une voiture, c'est encore plus rapide que faire du vélo… mais il faut aussi apprendre à conduire. Il nous faut nous accoutumer à cette complexité si nous voulons nous déplacer en voiture plutôt qu'aller à pied…

Eh bien les équations, et l'écriture mathématique en général, c'est la même chose : c'est à la fois plus simple et plus complexe. Plus simple car l'abstraction fait… abstraction d'un certain nombre de choses qui étaient présentes dans la situation concrète, comme la couleur ou la forme du paquet, etc. : c'est une simplification.

Plus complexe car comme disait un philosophe français, le simple est le résultat d'une simplification, et la simplification est une opération complexe ;-)

L'écriture mathématique nous permet également des tours de passe-passe que seul le papier peut assumer.

Regardez.

Pour aller plus vite dans la résolution de notre équation x + 3 = 5, que pouvons-nous faire ?...

Nous pouvons faire COMME SI le + 3 passait de l'autre côté et devenait - 3.

Ce jeu d'écriture permet d'écrire :

x + 3 = 5

x = 5 - 3

Mais cela, c'est l'abstraction qui l'autorise...

En réalité, dans la concrétude si vous préférez, nous devons bien retirer le 3 des deux côtés !

Sur le papier, cela donnera une règle : quand "on" passe de l'autre côté, "c'est" l'opération contraire, ou un truc du genre. Je reste volontairement dans le vague pour d'une part que vous fassiez appel à vos souvenirs, et d'autre part pour souligner que ce n'est qu'un "truc".

Eh, oui, mathématiques et magique… ça rime !

FCRR